[A3001] Tính chiều dài biển quảng cáo

Đề bài

Một công ty quảng cáo cần xác định chính xác chiều dài \(AB\) của một biển quảng cáo hình chữ nhật \(ABCD\) đặt trên nóc một tòa nhà cao tầng. Biển có chiều cao \(AD = 10\,\text{m}\), và chiều dài \(AB\) lớn hơn chiều cao \((AB > AD)\).

Do vị trí nguy hiểm, chiều dài \(AB\) không thể đo trực tiếp. Kỹ sư đo từ vị trí an toàn tại \(D\), dùng thiết bị laser nhắm tới trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\). Kết quả đo cho biết: \[ \sin \widehat{BDM} = \frac{\sqrt{6}}{9}. \] Hãy tính độ dài chính xác của cạnh \(AB\).

Lời giải

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = MB = \dfrac{AB}{2}\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống \(AD\).

Đặt \(DN = x\) (điểm \(N\) nằm trên \(DC\)), khi đó \[ DH = \sqrt{x^2 + 25}, \qquad DM = \sqrt{x^2 + 100}. \]

Xét diện tích hai tam giác \( \triangle DMH \) và \( \triangle DNH \):

Thế số vào ta được \[ \sqrt{x^2+100}\,\sqrt{x^2+25}\cdot \frac{\sqrt{6}}{9} = x\cdot 5. \] Bình phương và quy đồng: \[ (x^2+100)(x^2+25)\cdot\frac{6}{81} = 25x^2. \] Giải ra \(x^2 = 200\) (nhận vì \(x>0\)), do đó \(x = 10\sqrt{2}\).

Vì \(DN = \dfrac{AB}{2}\) nên \[ AB = 2x = 20\sqrt{2}\,\text{(m)}. \]

Kết luận: \(\boxed{AB = 20\sqrt{2}\ \text{m}}\).